Regla de la cadena: definición, aplicación y errores comunes

La regla de la cadena es el teorema central del cálculo diferencial que permite derivar cualquier función compuesta, como sen(3x²) o (5x²+7)¹⁰⁰⁰. Esta guía desglosa su definición, los pasos para aplicarla correctamente y los errores más frecuentes que cometen los estudiantes, basándose en fuentes como OpenStax Cálculo Volumen 1 y Khan Academy.

Última verificación: 2026-07-14

Enunciado formal: Si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = f'(u) * g'(x) · Fuente principal: Khan Academy (es.khanacademy.org) · Ejemplo típico: f(x) = (5x² + 7)¹⁰⁰⁰ · Origen: Técnica de integración por cambio de variables

¿Qué dice la regla de la cadena?

La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta f(g(x)) es igual a la derivada de la función externa evaluada en la función interna, multiplicada por la derivada de la función interna. En notación de Leibniz: dy/dx = dy/du · du/dx. Wikipedia en español recoge esta formulación como la expresión clásica del teorema.

Enunciado general

El teorema completo, según los apuntes de la Universidad Nacional Autónoma de México, requiere que g sea diferenciable en a y f sea diferenciable en g(a). Bajo esas condiciones, f ∘ g es diferenciable en a y (f ∘ g)'(a) = f'(g(a)) · g'(a).

Notación de Leibniz

La notación diferencial de Leibniz es especialmente útil para recordar la regla: si y depende de u y u depende de x, la derivada total se calcula como el producto de las derivadas en cada nivel. Los apuntes de la Universidad de California, Berkeley expresan esta idea en notación matricial como D(f ∘ g) = Df · Dg, destacando que la derivada es la mejor aproximación lineal de una función en un punto.

La regla de la cadena puede verse formalmente como consecuencia de la derivada de la composición de funciones, bajo la hipótesis de diferenciabilidad de las funciones implicadas.

— Apuntes del curso Math 121A, Universidad de California, Berkeley

En resumen: la regla de la cadena reduce la derivación de cualquier función compleja a la multiplicación de derivadas más simples, siempre que se identifiquen correctamente los niveles de composición.

¿Cuándo se aplica la regla de la cadena?

La regla de la cadena se aplica siempre que sea necesario derivar una función que sea composición de dos o más funciones diferenciables. Esto incluye funciones como sen(3x), e^(x²), √(1+x²) y (5x²+7)¹⁰⁰⁰. Khan Academy la describe como la herramienta fundamental para derivar funciones compuestas en cursos de AP Calculus.

Funciones compuestas

En la práctica, cada vez que una función “envuelve” a otra —por ejemplo, una potencia de una expresión, un seno de un polinomio, o una exponencial de una función— se necesita la regla de la cadena. FísicaLab explica que si en lugar de x tenemos f(x), al derivar se sustituye x por f(x) en la regla correspondiente y se multiplica por f'(x).

Derivadas parciales

En el cálculo multivariable, la regla de la cadena se generaliza. LibreTexts Español muestra que si z = f(x,y) y x(t), y(t) son funciones diferenciables de t, entonces dz/dt = ∂f/∂x · dx/dt + ∂f/∂y · dy/dt.

En el contexto multivariable, la regla de la cadena describe la tasa instantánea de cambio de una función compuesta como suma de contribuciones parciales de cada variable interna, ponderadas por sus respectivas derivadas.

— LibreTexts Español, Cálculo activo

La implicación práctica: la regla de la cadena no se limita a funciones sencillas; es la base para resolver problemas de tasas relacionadas, donde varias cantidades dependen de una variable común como el tiempo.

¿Cómo se aplica la regla de la cadena?

OpenStax recomienda una estrategia paso a paso: identificar la función externa f y la interna g en h(x) = f(g(x)), calcular f′ y g′, evaluar f′ en g(x) y finalmente multiplicar por g′(x).

Identificar la función externa e interna

El primer paso es reconocer qué función está “por fuera” y cuál “por dentro”. En f(x) = (5x² + 7)¹⁰⁰⁰, la función externa es la potencia 1000 (u¹⁰⁰⁰) y la interna es 5x² + 7. FísicaLab ilustra este proceso con el ejemplo (3x²+1)⁵, donde la externa es la potencia quinta y la interna 3x²+1.

Derivar cada función

Una vez identificadas las funciones, se deriva cada una por separado. Para f(x) = (5x² + 7)¹⁰⁰⁰: la derivada de la externa (u¹⁰⁰⁰) es 1000 · u⁹⁹⁹, y la derivada de la interna (5x² + 7) es 10x.

Multiplicar las derivadas

Finalmente, se multiplican: h'(x) = 1000 · (5x² + 7)⁹⁹⁹ · 10x = 10000x · (5x² + 7)⁹⁹⁹. El vídeo didáctico “Derivadas REGLA DE LA CADENA Explicada Paso a Paso” (publicado el 14 de junio de 2023) recomienda cinco pasos: 1) reconocer la composición, 2) nombrar la interna como u = g(x), 3) derivar la externa respecto a u, 4) multiplicar por u′ = g′(x) y 5) sustituir u por g(x) al final.

Guías de estudio de AP Calculus recomiendan para la enseñanza de la regla de la cadena empezar con funciones compuestas sencillas (como √(1+x²) o sen(3x)) antes de pasar a composiciones múltiples o funciones implícitas.

En resumen: Guías de estudio de AP Calculus recomiendan para la enseñanza de la regla de la cadena empezar con funciones compuestas sencillas (como √(1+x²) o sen(3x)) antes de pasar a composiciones múltiples o funciones implícitas.

— PrepGo, AP Calculus BC Study Guide

¿Cómo se aplica la regla de la cadena a tres funciones?

Cuando hay tres funciones compuestas, como h(x) = f(g(k(x))), la regla se extiende naturalmente: h'(x) = f'(g(k(x))) · g'(k(x)) · k'(x). OpenStax advierte que se debe trabajar “de fuera hacia dentro”, añadiendo una “parte” a la derivada por cada función compuesta.

Un ejemplo concreto: para derivar sen((x²+1)³), la externa es sen(u), la intermedia es u = v³ (con v = x²+1), y la interna es v = x²+1. La derivada es cos((x²+1)³) · 3(x²+1)² · 2x.

¿Cuáles son los errores comunes al usar la regla de la cadena?

PrepGo identifica que la regla de la cadena es una de las fuentes principales de errores en exámenes de AP Calculus, tanto por omisiones del factor de la derivada interna como por la confusión con la regla del producto.

Olvidar derivar la función interna

El error más frecuente es escribir (sen(x²))′ = cos(x²), omitiendo el factor 2x de la derivada de x². Materiales didácticos en vídeo documentan este fallo como habitual entre estudiantes que aplican correctamente la derivada de la función externa pero olvidan la interna.

No aplicar correctamente la composición

Otro error recurrente, señalado en apuntes sobre errores comunes, es derivar la función externa y luego derivar también la interna por separado sin mantener la estructura de composición, lo que produce expresiones incorrectas como (f(g(x)))′ = f′(x) · g′(x).

Muchos estudiantes olvidan identificar correctamente qué parte de la expresión es la función interna y cuál es la externa, lo que genera errores en funciones como sen(x²) o e³ˣ.

— Vídeo “Cálculo Diferencial | Regla de la Cadena – Derivadas”, YouTube

El patrón a evitar: cuando derivéis una función compuesta, revisad siempre que hayáis multiplicado por la derivada de la función interna. Es el factor que más se olvida en exámenes.

¿Cuál es la forma más fácil de recordar la regla de la cadena?

Varias fuentes educativas comparten técnicas mnemotécnicas. RevisionDojo propone la frase: “deriva la función externa dejando intacta la interna, y multiplica por la derivada de la interna”.

Regla mnemotécnica

La frase “exterior por interior, todo derivado” ayuda a recordar la estructura: primero la derivada de lo de fuera (con lo de dentro sin tocar), luego la derivada de lo de dentro. FísicaLab sugiere pensar en “capas de cebolla”: cada capa se deriva por separado y se multiplica.

Analogía práctica

Una analogía extendida es la de una máquina compuesta: si una función g transforma x en u y luego f transforma u en y, la tasa de cambio total (dy/dx) es el producto de las tasas de cambio de cada etapa (dy/du · du/dx). La práctica con ejercicios resueltos, como los que ofrece Khan Academy, facilita la memorización y automatización del proceso.